NOCIONES BÁSICAS DE LA PROBABILIDAD

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE:

 Conocer los conceptos de experimento aleatorio y espacio muestral.

   Distinguir los distintos tipos de sucesos que forman parte del espacio muestral y las operaciones fundamentales que con ellos pueden realizarse.

    Adquirir un concepto preciso de probabilidad.

   Saber resolver aquellos problemas en que se nos presentan probabilidades condicionadas.

INTRODUCCIÓN

En cualquier investigación intentamos aceptar o rechazar una hipótesis con un determinado nivel de probabilidad y, asimismo, procedemos a generalizar nuestros resultados a la población (Inferencia Estadística) y esta generalización siempre es probabilística. Lo probable (que puede suceder) implica que disponemos de datos suficientes para suponer que determinado suceso ocurrirá. La probabilidad se aplica a la probabilidad de ocurrencia de determinadas proposiciones, juicios o acontecimientos.

CONCEPTOS PREVIOS:

EXPERIMENTO ALEATORIO O ESTOCÁSTICO: Cualquier experimento realizado al azar que se puede repetir indefinidamente en las mismas condiciones y cuyo resultado no se puede predecir con certeza (ejemplo: lanzar una moneda o un dado al aire).

Condiciones básicas de un experimento aleatorio:

·         Se puede repetir indefinidamente en las mismas condiciones.

·         El resultado de cada ensayo pertenece al conjunto de todos los resultados posibles.

·         Antes de cada ensayo no se puede predecir con certeza el resultado que obtendremos.

·         Al aumentar el número de ensayos la frecuencia relativa o proporción de cada resultado tiende a aproximarse a un valor fijo.

ESPACIO MUESTRAL: Conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. (E = Universo o población del experimento) Lanzar un dado: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; Lanzar una moneda: E = {cara, cruz).

SUCESOS: Los distintos resultados de un experimento aleatorio (subconjunto del espacio muestral).

Tipos de sucesos:

·         Elementales o Simples: (implican un solo resultado del espacio muestral E). Lanzar un dado: Obtener un tres (elemental o simple) A = {3}

·         Compuestos: (implican dos o más resultados del espacio muestral). Obtener un número par (compuesto) A = {2, 4, 6}

Los sucesos también se pueden clasificar atendiendo a las siguientes características:

·         Suceso Seguro:  Siempre se verifica (Lanzar un dado y obtener puntuación menor que siete)

·         Suceso imposible: Nunca se verifica (conj. vacío Ø). (Lanzar un dado y obtener diez puntos)

Operaciones con sucesos:

·         Unión de sucesos A ó B = P (aparezca A ó aparezca B ó ambos a la vez) = P (A U B)

·         Intersección de sucesos A y B = P (aparezca A y aparezca B) = P (A ∩ B). Cuando no contiene ningún elemento, los sucesos son incompatibles o excluyentes y no pueden ocurrir simultáneamente.

·        Complementario de A: Subconjunto formado por los sucesos que no pertenecen a A: (No A).

    MAPA MENTAL 

EJEMPLO

Lanzar un dado es una experiencia aleatoria (nunca podemos asegurar el valor que se obtiene al lanzarlo). El conjunto de los resultados posibles constituye el Espacio Muestral. 

 Espacio Muestral: E = {1, 2, 3, 4, 5 y 6}

Sucesos:

A = {cifra par} A U B = {2, 3, 4, 5, 6}

B = {número primo} A ∩ B = {2}  Complementario de A = {1, 3, 5}

A y B son Compatibles: A ∩ B = {2}

Dados los conjuntos A, B y C (resultados del lanzamiento de un dado) determinar los elementos que pertenecen a cada una de las expresiones siguientes:

  A = {1, 2, 3, 4}               B = {2, 3, 5}              C = {1, 3, 5, 6}

(A ∩ C) ∩ B = {1, 2, 3, 4} ∩ {1, 3, 5, 6} ∩ {1, 4, 6} = {1, 3} ∩ {1, 4, 6} = {1}

(A ∩ C) - B = {1, 3} - {2, 3, 5} = {1} (Suprimo en A ∩ C los sucesos de B)  

C ∩ (A U B) = {1, 3, 5, 6} ∩ {6} = {6}

C - (A U B) = {1, 3, 5, 6} - {1, 2, 3, 4, 5} = {6}

JUEGO

Cruzar el río Para el trabajo con sucesos equiprobables y no equiprobables, comenzamos con el siguiente juego cuyo objetivo final es cruzar un río como se observa en la Figura 1: 

   

Descripción del material didáctico: La franja central que se observa en la Figura 1 representa un río y a cada lado doce casillas numeradas del 1 al 12. Para este juego se necesitan 24 fichas y dos dados. Instrucciones y objetivo del juego: En este juego han de participar dos jugadores; cada uno de los cuales dispone de 12 fichas. Se debe colocar cada ficha en cada una de las doce casillas (una ficha por casilla). El primer jugador lanzará dos dados, sumará los puntos obtenidos en las caras superiores de los mismos y pasará al otro lado del río la ficha que esté situada en la casilla que tenga el número que ha obtenido al realizar la suma. A continuación lanzará los dos dados el segundo jugador quien deberá repetir el mismo proceso. Así se deberá continuar hasta que alguno de los jugadores pase todas sus fichas al otro lado del río. ¿Es esto posible? No, el objetivo de pasar todas las fichas no se cumple para la primera posición, nunca pasará el río. Propuesta para los alumnos: En primera instancia, a los alumnos se les plantea la actividad con el objetivo (imposible) que se ha mencionado con anterioridad.

 Cuando 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 identifiquen la imposibilidad de la propuesta, los alumnos volverán a jugar buscando el mismo objetivo pero ahora situando las fichas donde ellos quieran (desde situarlas cada una en un lugar hasta ponerlas todas en la misma casilla). Realizarán el juego varias veces de manera que ellos mismos puedan descubrir que hay posiciones desde las que es más fácil pasar al otro lado (mayor probabilidad de ocurrencia) y posiciones menos probables o imposibles (casilla 1). Objetivos didácticos del juego: Los aspectos más importantes tratados en este juego son los de no equiprobabilidad de sucesos, suceso imposible y suceso más o menos probable. También se puede trabajar la introducción a la representación gráfica de los resultados obtenidos del juego, como por ejemplo el histograma